双曲函数(也有叫圆函数的)，和三角函数类似。
在1689_1690雅各布用了一年的时间研究毫无头绪。而他的弟弟约翰.伯努利，只用了“一个晚上“的时间解出了正确答案，同一时期的菜布尼也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后在求解。
到了18世纪，约翰.兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学，19世纪中后期，奥古斯都.德摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉克利福德则使用双曲线角参数化单位双曲线。到此双曲线函数在数学应用中诞生了！
A、函数定义
(a)三角函数的定义。(如图所示)则
三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。
(b)双曲函数的定义(如图所示)
则双曲函数的值，也是通过双
曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。
C、恒等式
双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式也很相似。
E、复域统一
双曲函数和三角函数，似乎各相似却还是不一样。其实在复域上它们是一样的。从图上可看出同一行的两个函数除了角度不同外形状是一样的。
G、反双曲线函数
反双曲线函数是双曲函数的反函数，反双曲函数的符号为ar，而反三角函数的符号为arc。
